Question

已知：數列{a_n}前n項和為S_n，a_n+S_n=n，數列{b_n}中b₁=a₁，b_n+1=a_n+1-a_n，
（1）寫出數列{a_n}的前四項；
（2）猜想數列{a_n}的通項公式，并加以證明；
（3）求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

解：（1）∵a_n+S_n=n，∴n=1時，
n=2時，a₂+S₂=2，∴
n=3時，a₃+S₃=3，∴
n=4時，a₄+S₄=4，∴；…（2分）
（2）猜想：，下面用數學歸納法證明：…（3分）
①當n=1時，，猜想成立；
②假設當n=k時猜想成立，即，
則當n=k+1時，，
即，∴，即當n=k+1時猜想也成立，
∴由①②知：n∈N^*時都成立．…（8分）
（3）∵b_n+1=a_n+1-a_n，∴（n≥2），
∵，∴（n∈N^*）．…（10分）
分析：（1）分別令n=1，2，3，4，即可求得數列{a_n}的前四項；
（2）猜想：，再用數學歸納法證明，當n=k+1時，利用，即可證得；
（3）利用（2）的結論，結合b_n+1=a_n+1-a_n，可求數列{b_n}的通項公式．
點評：本題以數列遞推式為載體，考查數列的通項，考查數學歸納法，利用數學歸納法應注意其兩個步驟及一個結論