Question

設x、y∈R，求證|x+y|=|x|+|y|的充要條件是xy≥0．

Answer 1

答案：
解析：

證明：“”充分性 　　∵　xy≥0 　　∴　或 　　當時，有x+y≥0 　　∴　|x+y|=x+y=|x|+|y| 　　當時，有x+y≤0 　　∴　|x+y|=-(x+y)=-x-y=|x|+|y| 　　“”必要性 　　∵　|x+y|=|x|+|y|，∴　(x+y)2=(|x|+|y|)2 　　∴　xy=|xy|，∴　xy≥0． 　　綜上所述，原題得證．