Question

【題目】已知函數（）的單調遞減區間為.

（I）求a的值；

（II）證明：當時，；

（III）若存在，使得當時，恒有，求實數k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）.

【解析】

（I）由題意知為方程的一個根，求出后注意檢驗一下.

（II）構造，通過研究其單調性，證明即可.

（III）根據（II），分、、三種情況討論，前兩種情況容易證明不存在滿足條件的值，當時，令，通過研究的導數，進一步研究其單調性，找到值并證明即可.

解：（I）的定義域為.

.

由題意知為方程的一個根.

所以，解得.

當時，，得

的單調遞減區間為，符合題意.

（II）設，

則.

當時，，所以在上單調遞增.

所以當時，，即.

（III）當時，由（II）知不存在符合條件的m.

當時，對于，，故不存在符合條件的m.

當時，令，

則.

令，得，.

因為當時，，所以在上單調遞減，，

即，此時取即可.

綜上所述，k的取值范圍是.