Question

從集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一個．
（Ⅰ）記性質r：集合中的所有元素之和為10，求所取出的非空子集滿足性質r的概率；
（Ⅱ）記所取出的非空子集的元素個數為ξ，求ξ的分布列和數學期望Eξ

Answer 1

分析：（1）集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集有2⁵-1個，等可能地取出一個有31種結果，而滿足條件集合中的所有元素之和為10的通過列舉有3個，根據古典概型公式得到結果．
（2）所取出的非空子集的元素個數為ξ，由題意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5，類似于第一問得到各值對應的概率，寫出分布列，算出期望．

解答：解：記“所取出的非空子集滿足性質r”為事件A
基本事件數是C₅¹+C₅²+C₅³+C₅⁴+1=31
事件A包含的事件是{1、4、5}，{2、3、5}，{1、2、3、4}
∴P（A）=

3

31

，
（2）由題意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5，
ξ的分布列是：
又P（ξ=1）=

C 1 5

31

=

5

31

，
P（ξ=2）=

C 2 5

31

=

10

31

，
P（ξ=3）=

C 3 5

31

=

10

31

P（ξ=4）=

C 4 5

31

=

5

31

P（ξ=5）=

C 5 5

31

=

1

31

∴Eξ=1×

5

31

+2×

10

31

+3×

10

31

+4×

5

31

+5×

1

31

=

80

31

點評：本題這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．本題還考到了集合的子集個數問題，一個含有n個元素的集合的子集個數是2ⁿ．