Question

在平面直角坐標系xOy中，平行于x軸且過點A(3

3

，2)的入射光線l₁被直線l：y=

3

3

x反射，反射光線l₂交y軸于B點．圓C過點A且與l₁、l₂相切．
（1）求l₂所在的直線的方程和圓C的方程；
（2）設P、Q分別是直線l和圓C上的動點，求PB+PQ的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線l₁：y=2，設設l₁交l于D，則D（2

3

，2）．由l的傾斜角為30°知反射光線l₂所在的直線方程為

3

x-y-4=0．已知圓C與l₁切于點A，設C（a，b），圓心C在過點D且與l垂直的直線上，知b=-

3

a+8．由此能求出圓C的方程．
（Ⅱ）設點B（0，-4）關于l的對稱點B'（x₀，y₀），則，

y0-4

2

=

3

3

•

x0

2

，且

y0+4

x0

=-

3

，得B′(-2

3

，2)．固定點Q可發現，當B'、P、Q共線時，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值為B'C-3．由此能求出 PB+PQ的最小值及此時點P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）直線l₁：y=2，
設l₁交l于D，則D（2

3

，2）．
∵l的傾斜角為30°，
∴l₂的傾斜角為60°，…（2分）
∴k2=

3

，
∴反射光線l₂所在的直線方程為y-2=

3

（x-2

3

）．
即

3

x-y-4=0．…（4分）
已知圓C與l₁切于點A，設C（a，b），
∵圓心C在過點D且與l垂直的直線上，
∴b=-

3

a+8①…（6分）
又圓心C在過點A且與l₁垂直的直線上，
∴a=3

3

②，
由①②得

a=3 3 b=-1

，
圓C的半徑r=3．
故所求圓C的方程為(x-3

3

)2+(y+1)2=9．    …（10分）
（Ⅱ）設點B（0，-4）關于l的對稱點B'（x₀，y₀），
則，

y0-4

2

=

3

3

•

x0

2

，且

y0+4

x0

=-

3

…（12分）
得B′(-2

3

，2)．
固定點Q可發現，當B'、P、Q共線時，PB+PQ最小，
故PB+PQ的最小值為為B'C-3．               …（14分）

y+1 2+1 = x-3 3 -2 3 -3 3 y= 3 3 x

，
得P(

3

2

，

1

2

)，
最小值B′C-3=2

21

-3． …（16分）

點評：本題主要考查圓標準方程，簡單幾何性質，直線與圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．