Question

某學校高一年級開設了A，B，C，D，E五門選修課．為了培養學生的興趣愛好，要求每個學生必須參加且只能選修一門課程．假設某班甲、乙、丙三名學生對這五門課程的選擇是等可能的．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三名學生參加五門選修課的所有選法種數；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三名學生中至少有兩名學生選修同一門課程的概率；
（Ⅲ）設隨機變量X為甲、乙、丙這三名學生參加A課程的人數，求X的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）每個學生選修一門課程，有5種選法，由分步乘法原理即可求解．
（Ⅱ）“甲、乙、丙三名學生中至少有兩名學生選修同一門課程”的對立事件為“三名學生選擇三門不同選修課程”，利用對立事件的概率關系求解．
（Ⅲ）X的所有可能取值為：0，1，2，3，利用古典概型分別求概率，列出分布列求期望即可．

解答：解：（Ⅰ）甲、乙、丙三名學生每人選擇五門選修課的方法數是5種，
故共有5×5×5=125（種）．
（Ⅱ）三名學生選擇三門不同選修課程的概率為：

A 3 5

53

=

12

25

．
∴三名學生中至少有兩人選修同一門課程的概率為：1-

12

25

=

13

25

．
（Ⅲ）由題意：X=0，1，2，3
.P(X=0)=

43

53

=

64

125

；
P(X=1)=

C 1 3 •42

53

=

48

125

；
P(X=2)=

C 2 3 •4

53

=

12

125

；
P(X=3)=

C 3 3

53

=

1

125

．
ξ的分布列為

數學期望EX=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

3

5

．

點評：本題考查計數原理、古典概型、及離散型隨機變量的分布列和期望，難度不大．