Question

一個口袋中裝有大小相同的個紅球（且）和個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球的顏色不同則為中獎。
（Ⅰ）試用表示一次摸獎中獎的概率；
（Ⅱ）記從口袋中三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為，求的最大值.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，將個白球全部取出后，對剩下的個紅球全部作如下標記：記上號的有個（），其余的紅球記上號，現從袋中任取一球。表示所取球的標號，求的分布列、期望和方差.

Answer 1

（1）；（2）n=20時，m的最大值為4/9；
（3），.

第一問中，利用一次摸獎從n+5個球中任取兩個，有種方法。它們是等可能的，其中兩個球的顏色不同的方法有種，故一次摸獎中獎的概率為．
第二問中，
設每次摸獎中獎的概率為，三次摸獎中恰有一次中獎的概率是：
利用導數的思想求解最值。
第三問中，由（Ⅱ）知：記上0號的有10個紅球，從中任取一球，有20種取法，它們是等可能的．故的可能取值為0，1,2,3,4求解各個概率值，然后求解期望和方差即可。
解:（Ⅰ）一次摸獎從n+5個球中任取兩個，有種方法。
它們是等可能的，其中兩個球的顏色不同的方法有種，
一次摸獎中獎的概率為．       ………5分
（Ⅱ）設每次摸獎中獎的概率為，三次摸獎中恰有一次中獎的概率是：
      ………  6分
m對p的導數
因而m在上為增函數，m在上為減函數。    ………8分
∴當p=1/3，即，n=20時，m的最大值為4/9．    ………  10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：記上0號的有10個紅球，從中任取一球，有20種取法，它們是等可能的．故的分布列是：

p

…12分
．       ………14分
．……..15分