Question

平面內(nèi)有n條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條或三條以上過同一點.設這n條直線將平面分割成的區(qū)域數(shù)為f(n),探求f(n),并用數(shù)學歸納法證明.

Answer 1

解析：寫出f(n)的前四項，分析規(guī)律，猜測求f(n).

當n=1時，顯然f(1)=2,

當n=2時，f(2)=2+2=4,

當n=3時，f(3)=4+3=7,

當n=4時，f(4)=f(3)+4,

由此猜想：f(n)=f(n-1)+n,

把n取2，3，4，…，n所得到的n-1個式子累加，得f(n)=2+2+3+4+…+n=1+n(n+1)，

即f(n)=n(n+1)+1.

證明：(1)當n=1時，f(1)=12×1×(1+1)+1=2,結(jié)論顯然成立.

（2）假設n=k時結(jié)論成立，即平面內(nèi)滿足條件的k條直線把平面分成的區(qū)域個數(shù)為f(k)=12k(k+1)+1，則當n=k+1時，第k+1條直線與前k條直線有k個交點，這k個交點將第k+1條直線分成k+1段，而每一段又將它所在區(qū)域一分為二，這樣f(k+1)比f(k)多k+1.

∴f(k+1)=f(k)+k+1=k(k+1)+1+k+1=(k+1)(k+2)+1.

∴當n=k+1時，結(jié)論成立.

由（1）（2）,知對任意n∈N^*結(jié)論都成立.

∴f(n)=n(n+1)+1.