Question

已知平面內一動點P到點F（1，0）的距離與點P到y軸的距離的差等于1．
（1）求動點P的軌跡C的方程．
（2）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁、l₂，設l₁與軌跡C交于A、B兩點，l₂與軌跡C交于D、E兩點，求|FA|•|FB|+|FC|•|FD|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平面內一動點P到點F（1，0）的距離與點P到y軸的距離的差等于1，可得當x≥0時，點P到F的距離等于點P到直線x=-1的距離，所以動點P的軌跡為拋物線；當x＜0時，y=0也滿足題意；
（2）設l₁的方程為y=k（x-1）與拋物線方程聯立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理可得x₁+x₂=2+，x₁x₂=1，x₃+x₄=2+4k²，x₃x₄=1，從而可得|FA||FB|+|FD||FE|=8+4（k²+）≥16，由此即可得到結論．
解答：解：（1）∵平面內一動點P到點F（1，0）的距離與點P到y軸的距離的差等于1
∴當x≥0時，點P到F的距離等于點P到直線x=-1的距離，
∴動點P的軌跡為拋物線，方程為y²=4x（x≥0）
當x＜0時，y=0
∴動點P的軌跡C的方程為y²=4x（x≥0）或y=0（x＜0）
（2）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為0，設為k，則l₁的方程為y=k（x-1）
與拋物線方程聯立，消元可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個實根，所以x₁+x₂=2+，x₁x₂=1
∵l₁⊥l₂，∴l₂的斜率為
設D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），則同理可得x₃+x₄=2+4k²，x₃x₄=1
∴|FA||FB|+|FD||FE|=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）=8+4（k²+）≥16（當且僅當k=±1時取等號）
∴|FA|•|FB|+|FC|•|FD|的最小值為16．
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是確定拋物線的方程，利用韋達定理解題．