Question

若△ABC的兩條中線(xiàn)的長(zhǎng)度分別為6，3，則△ABC面積的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由AD和BE都為三角形的中線(xiàn)，得到F為重心，從而由AD及BE的長(zhǎng)得到AF，BF及EF的長(zhǎng)，設(shè)∠AFB=α，可得∠AFE=π-α，根據(jù)E為AC的中點(diǎn)，得到三角形ABE與三角形BEC的面積相等，三角形ABC的面積等于2倍三角形ABE的面積，而三角形ABE的面積等于三角形ABF的面積與三角形AFE的面積之和，由求出的AF，BF及EF，還有設(shè)出的角度，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，合并后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域得到其面積小于等于12，且當(dāng)α=90°，即兩中線(xiàn)垂直時(shí)，三角形ABC面積最大，最大值為12．
解答：
解：如圖，中線(xiàn)AD=6，BE=3，
則AF=4，BF=2，EF=1，
設(shè)∠AFB=α，
∴S_△ABC=2S_△ABE=2（S_△ABF+S_△AEF）
=2[AF•BF•sinα+AF•EF•sin（π-α）]
=8sinα+4sinα
=12sinα≤12，
則當(dāng)α=90°，即兩中線(xiàn)垂直時(shí)，S_△ABC的最大值為12．
故答案為：12
點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有三角形的中位線(xiàn)定理，三角形的面積公式，以及正弦函數(shù)的值域，根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，由等底同高得到中線(xiàn)把三角形面積平分是解本題的關(guān)鍵．