Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）判斷函數(shù)在點處的切線是否過定點？若過，求出該點的坐標(biāo)；若不過，請說明理由．

（2）若有最大值，證明：．

Answer 1

【答案】（1）在處的切線過定點，坐標(biāo)為；（2）證明見解析

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在點處的切線方程，根據(jù)過定點的直線系方程的判斷方法，即可判斷該切線是否過定點；

（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性，求出其最大值為，將需證明的不等式等價變形為，令，構(gòu)造函數(shù)

，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，，即得證．

（1），，切點坐標(biāo)為，

在處的切線方程為，

即，令，得，．

在處的切線過定點．其坐標(biāo)為．

（2）由題知，的定義域為．

．

若，則恒成立，在上單調(diào)遞增，無最大值．

若，令，得（舍）或

當(dāng)，；當(dāng)時，，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故，

即．

若證，可證，令，，

則有，即證．

設(shè)，則．

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故．，即．