Question

已知可行域的外接圓C與x軸交于點A₁、A₂，橢圓C₁以線段A₁A₂為長軸，離心率．
（1）求圓C及橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的右焦點為F，點P為圓C上異于A₁、A₂的動點，過原點O作直線PF的垂線交直線于點Q，判斷直線PQ與圓C的位置關系，并給出證明．

Answer 1

解：（1）：解方程組 ，得：y=0，x=﹣2，
  ，得：y=0，x=2，
 ，得：y= ，x=1，
∴可行域y的三個頂點分別為：（﹣2，0），（2，0），（1， ），
設圓的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，得到方程組： ，
解得：D=0，E=0，F=﹣4，
∴圓C的方程為：x²+y²=4，
圓與X軸的交點A₁（﹣2，0），A₂（2，0），
設橢圓C₁的方程的方程為：  ，（a＞b＞0）
則有 ，
∴橢圓方程為： 
（2）設p（x₀，y₀），（x₀≠±2），
∴當x₀= 時，P（2， ），  ，k_Op·k_PQ=﹣1，
當 時， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴K_OP·K_PQ=﹣1，故相切．