Question

已知可行域的外接圓C與軸交于點A₁、A₂，橢圓C₁以線段A₁A₂為短軸，離心率

（Ⅰ）求圓C及橢圓C₁的方程；

（Ⅱ）過橢圓C₁上一點P(不在坐標軸上)向圓C引兩條切線PA、PB、A、B為切點，直線AB分別與x軸、y軸交于點M、N．求△MON面積的最小值．（O為原點）．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以及點為頂點的三角形，∵，∴為直角三角形，     ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圓C以原點O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為．

∵2b=4，∴b=2．又，可得．

∴所求橢圓C₁的方程是．           ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，OA的斜率為，則PA的斜率為，則PA的方程為：化簡為：，    

同理PB的方程為                ┅┅┅┅┅┅┅6分

又PA、PB同時過P點，則x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，

∴AB的直線方程為：x₀x+y₀y=4               ┅┅┅┅┅┅┅8分

（或者求出以OP為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）

從而得到、所以   ┅┅8分

當且僅當.           ┅┅┅┅┅┅┅12分

（或者利用橢圓的參數方程、函數求最值等方法求的最大值）