Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形BCC₁B₁的中心，求證：
（1）BC₁⊥DO；
（2）A₁C⊥平面AB₁D₁．

Answer 1

分析：（1）直接利用正方體的性質證明BC₁垂直于DO所在的平面B₁CD即可；
（2）由線面垂直的判定證明線面垂直，從而得到線線垂直，再由線面垂直的判定定理得答案．

解答：證明：如圖，

（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，∴BC₁⊥B₁C，DC⊥面BCC₁，∴DC⊥BC₁，
又DC∩B₁C=C，∴BC₁⊥平面B₁CD，又DO?面B₁CD，∴BC₁⊥DO；
（2）連結A₁B，則A₁B⊥AB₁，又BC⊥面ABB₁，∴BC⊥AB₁，
∴AB₁⊥面A₁B₁C，∴A₁C⊥AB₁，
同理A₁C⊥AD₁，又AB₁∩AD₁=A．∴A₁C⊥平面AB₁D₁．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定與性質，考查了學生的空間想象能力，是中低檔題．