Question

（本小題滿分12分）

已知拋物線（）的焦點為橢圓的右焦點，點、為拋物線上的兩點，是拋物線的頂點，⊥．

（Ⅰ）求拋物線的標準方程；

（Ⅱ）求證：直線過定點；

（Ⅲ）設弦的中點為，求點到直線的距離的最小值．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）橢圓的右焦點，由題意知  ∴．……2分

拋物線的標準方程為．……………………………………………………3分

   （Ⅱ）解法一：設直線方程為， ．

由    得．…………………………………4分

則 ．…………………………………………………5分

∵⊥，，

∴，∴．…………………………………7分

∴直線的方程為，該直線恒過定點．……………………8分

   解法二：①當直線的斜率不存在時，易求直線的方程為，

直線過定點．  ……………………………………………………………4分

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，

由得．

則．           ………………………………………………5分

∵⊥，，

，∴．     ……………………………7分

直線的方程為  該直線恒過定點．……………8分

（Ⅲ）點到直線的距離：

10分

∴當時，取最小值為．……………………………………………12分

 

【解析】略