Question

已知向量，向量與向量夾角為，且．
（1）若向量與向量=（1，0）的夾角為，向量，其中A，C為△ABC的內角，且A，B，C依次成等差數列，試求|+|的取值范圍．
（2）若A、B、C為△ABC的內角，且A，B，C依次成等差數列，A≤B≤C，設f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a²，f（A）的最大值為，關于x的方程在上有相異實根，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令=（x，y），則有cos==-
由得，又向量，故其模為，
則向量人模為1．則有x²+y²=1
（1）向量與向量=（1，0）的夾角為，故有•=0，即x=0，故y=±1
又故y=-1，則=（0，-1），
向量，即
又A，C為△ABC的內角，且A，B，C依次成等差數列 故B=
|+|²=cos²A+cos²C=cos²A+cos²（-A）=1+cos（2A+）
由A∈（0，），得2A+∈（，）得cos（2A+）∈[-1，）
|+|²∈[，）故|+|∈[，）
（2∵A、B、C為△ABC的內角，且A，B，C依次成等差數列，A≤B≤C，∴B=
∴f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a²=2sinAcosA-2（sinA+cosA）+a²
令t=sinA+cosA=sin（A+），則2sinAcosA=t²-1
由于A∈（0，]，A+∈（，]，故t=sin（A+）∈（1，]
故有f（A）=t²-1-2t+a²=t²-2t+a²-1，t∈（1，]
當t=時取到最大值為1-2+a²
又f（A）的最大值為，故1-2+a²=
故a²=4，又a＞0，故a=2
又關于的方程在上有相異實根
即方程在上有相異實根
因為x∈，故y=在（0，）上是增函數，在（，）上是減函數
方程在上有相異實根
故∈[，1），
故m∈[，2）．
分析：由題意先求出向量的坐標滿足有x²+y²=1
（1）由向量與向量=（1，0）的夾角為，故有•=0，由此解出向量的坐標，代入|+|²，用相關公式求其范圍，進而求出|+|∈[，）
（2）先解出B=，確定出A的范圍，再對f（A）用換元法變形，求出其最值的表達式，判斷并求出其最大值是1-2+a²，又已知f（A）的最大值為，令兩者相等解出參數a的值，再由在上有相異實根，依據三角函數的性質求出參數m滿足的范圍．
點評：本題考點是三角函數的最值，綜合利用二次函數的最值，向量的運算，三角函數的恒等變形，三角函數的最值，及三角函數的圖象，涉及到知識廣度高，綜合性強，做題時要有耐心地對題目中所給的每一個條件細心、嚴謹轉化，對每一個條件所蘊含的本質進行挖掘，逐步向結論靠近，如本題中第二小題，逐層推進比較明顯，答題過程中仔細體會此思維脈絡．