Question

已知函數f（x）=lnx+a，g（x）=x-a．
（1）當直線y=g（x）恰好為曲線y=f（x）的切線時，求a的值；
（2）若a∈Z，且xf（x）+g（x）＞0對一切x＞1恒成立，求a的最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）利用導數的幾何意義，結合直線y=g（x）恰好為曲線y=f（x）的切線，即可求a的值；
（2）由題意x（lnx+a）+x-a＞0對一切x＞1成立等價于a＞

xlnx+x

1-x

對一切x＞1成立．運用導數求出右邊的最小值，即可求a的最小值．

解答： 解：（1）設切點為（x₀，y₀），則
∵f（x）=lnx+a，∴f′（x）=

1

x

，
∵直線y=g（x）恰好為曲線y=f（x）的切線，
∴

1

x0

=1，∴x₀=1，∴切點為（1，a），
代入g（x）=x-a，可得1-a=a，∴a=

1

2

；
（2）由題意x（lnx+a）+x-a＞0對一切x＞1成立等價于
a＞

xlnx+x

1-x

對一切x＞1成立，
記h（x）=

xlnx+x

1-x

（x＞1），則h′（x）=

2+lnx-x

(1-x)2

，
記m（x）=2+lnx-x（x＞1），則m′（x）=

1

x

-1＜0，
∴m（x）=2+lnx-x在（1，+∞）上單調遞減，
∵m（3）=2+ln3-3＞0，m（4）=ln4-2＜0，
∴?x₀∈（3，4），使得m（x₀）=0
且x∈（1，x₀），m（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）在（1，x₀）上單調遞增；
x∈（x₀，+∞），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x₀，+∞）上單調遞減；
∴h（x）_min=h（x₀）=

x0lnx0+x0

1-x0

，
∵m（x₀）=0，∴2+lnx₀-x₀=0，∴lnx₀=x₀-2，
∴h（x₀）=

x0lnx0+x0

1-x0

=-x₀，∴a＞-x₀，
∵x₀∈（3，4），∴-x₀∈（-4，-3），
∵a∈Z，∴a的最小值為-3．

點評：本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．