Question

柳州市積極響應國家提高素質教育的戰略構想．某校對評三好學生進行全面改革，制定新的評定細則，按新的評定細則，A、B、C三同學評為三好學生的概率分別為x、

1

2

x、

2

3

x（其中0≤x≤1）．
（1）當x=0.6時，求A、B、C中有兩位同學評為三好學生的概率；
（2）求A、B、C中至少一位同學評為三好學生的概率的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得P（A）=0.6，P（B）=0.3，P（C）=0.4．由此求得A、B、C中有兩位同學評為三好學生的概率
（2）根據p(x)=1-P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

1 6 (2x3-9x2+13x)

，利用導數求得p（x）在[0，1]上增函數，故當x=1時，p（x）取得最大值為1．

解答：解：（1）設A同學被評為三好學生的概率為P（A），則由題意可得P（A）=0.6，
同理可得，P（B）=

1

2

P（A）=0.3，P（C）=

2

3

P（A）=0.4．
∴A、B、C中有兩位同學評為三好學生的概率
P=0.6×0.3×（1-0.4）+0.6×（1-0.3）×0.4+（1-0.6）×0.3×0.4=0.108+0.168+0.048=0.324．
（2）p(x)=1-P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

) 

=1-(1-x)(1- 1 2 x)(1- 2 3 x)

=

1 6 (2x3-9x2+13x)

．
令P′(x)=

1

6

(6x2-18x+13)=0，解得x=

9± 3

6

，故有0≤x≤1＜

9- 3

6

．
∴p（x）在[0，1]上，p'（x）＞0，即 p（x）在[0，1]上增函數，
∴當x=1時，p（x）取得最大值為1．

點評：本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式的應用，互斥事件的概率加法公式，利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．