Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求函數的極值；

（Ⅱ）討論函數的單調性；

（Ⅲ）令，若對任意的，，恒有成立，求實數k的最大整數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數有極小值1，無極大值；

（Ⅱ）分類討論，詳見解析；（Ⅲ）7．

【解析】

（Ⅰ）對函數進行求導，根據導函數的正負性判斷其單調性，結合極值的定義進行求解即可；

（Ⅱ）對函數進行求導，根據導函數的正負性分類討論判斷其單調性即可；

（Ⅲ）根據（Ⅱ）求出函數在時的最小值，結合任意性的定義，

問題對任意的，，恒有成立可以轉化為，

然后進行常變量分離，構造新函數，對新函數進行求導，結合新函數的單調性進行求解即可.

（Ⅰ）因為，所以，函數的定義域為.

，

當時，單調遞減，

當時，單調遞增，

所以函數有極小值，其值為，

函數沒有極大值.

即函數有極小值1，無極大值；

（Ⅱ）函數的定義域為，．

（1）當時， ，在上單調遞增．

（2）當時，，，單調遞減，

，，單調遞增．

綜上所述：當時，在上單調遞增，

當時，，單調遞減，，單調遞增；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

恒成立，則只需恒成立，

則，

，

令，則只需，

則，

，，單調遞減，

，，單調遞增，

，

即，，

的最大整數為7．