Question

已知三棱柱，側(cè)面側(cè)面，，。

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平

面？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

．   

Answer 1

（理）解（1）取中點(diǎn)O，連接CO，．，，
又∵，∴，，平面，

平面，．           

（2）由（Ⅰ），又側(cè)面側(cè)面，側(cè)面側(cè)面=平面，而，∴，，兩兩垂直．如圖，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．則有

由對(duì)稱性知，二面角的大小為二面角的兩倍

     設(shè)是平面ABC的一個(gè)法向量，_K^S*5U.C
，
由即解得令，∴．

又是平面的一個(gè)法向量，        

設(shè)二面角為，則，

所以二面角的余弦值是．

或：設(shè)所求二面角為，△OBC的BC邊上的高為

或：與，BC邊上的對(duì)應(yīng)高為二面角的平面角的兩夾邊（略）

       （3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E，∵，故可設(shè)，         

則，，， ， 平面，，
即，解得，