Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a，點M在線段EF上．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）當EM為何值時，AM∥平面BDF？寫出結論，并加以證明．
（3）當EM為何值時，AM⊥BE？寫出結論，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據線面垂直的判定定理，即可證明：BC⊥平面ACFE；
（2）根據線面平行的判定定理，確定EM的長度，然后根據AM∥平面BDF的判定定理即可得到結論．
（3）要證明AM⊥BE，則只需證明AM⊥平面BCE即可得到結論．

解答：（1）證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°，
∴AC⊥BC
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交線為AC，
∴BC⊥平面ACFE
（2）當EM=

3

3

a時，AM∥平面BDF，
在梯形ABCD中，設AC∩BD=N，連接FN，則CN：NA=1：2，
∵EM=

3

3

a、而EF=AC=

3

a，
∴EM：MF=1：2，
∴MF

∥ .

.

AN，∴四邊形ANFM是平行四邊形，∴AM∥NF
又∵NF?平面BDF，AM?平面BDF∴AM∥平面BDF，
（3）連結CE，由1）知BC⊥平面ACFE，
∴BC⊥AM
當AM⊥CE時△AEM∽△CAE有

AC

AE

=

AE

EM

即

3 a

a

=

a

EM

得EM=

3

3

a，
∴當EM=

3

3

a時AM⊥CE，即AM⊥平面BCE，也即AM⊥BE．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行或垂直的位置關系的判斷，要求熟練掌握常用的判定定理和性質定理．