Question

（2013•嘉興二模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，點P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE將△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF將△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（Ⅰ）求證：B′C∥平面A′PE．
（Ⅱ）設(shè)

AP

PB

=λ，當(dāng)λ為何值時，二面角C-A′B′-P的大小為60°？

Answer 1

分析：（I）利用線面平行的判定定理即可證明FC∥平面A'PE．再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明B^′F∥A^′E，進而得到B'F∥平面A'PE．利用面面平行的判定定理即可得到
平面B'CF∥平面A'PE，從而得到線面平行；
（II）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答：（Ⅰ）證明：∵FC∥PE，F(xiàn)C?平面A'PE，∴FC∥平面A'PE．
∵平面A'PE⊥平面ABC，且A'E⊥PE，∴A'E⊥平面ABC．
同理，B'F⊥平面ABC，∴B'F∥A'E，從而B'F∥平面A'PE．
∴平面B'CF∥平面A'PE，從而B'C∥平面A'PE．
（Ⅱ）以C為原點，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
則C（0，0，0），A′(0，

a

λ+1

，

λa

λ+1

)，B′(

λa

λ+1

，0，

a

λ+1

)，P(

λa

λ+1

，

a

λ+1

，0)．
∴

CA′

=(0，

a

λ+1

，

λa

λ+1

)，

A′B′

=(

λa

λ+1

，-

a

λ+1

，

(1-λ)a

λ+1

)，

B′P

=(0，

a

λ+1

，-

a

λ+1

)．
平面CA'B'的一個法向量

m

=(

1

λ

，λ，-1)，
平面PA'B'的一個法向量

n

=(1，1，1)．
由

| m • n |

| m || n |

=

| 1 λ +λ-1|

1 λ2 +λ2+1 • 3

=cos60°=

1

2

，
化簡得

1

λ2

+λ2-

8

λ

-8λ+9=0，解得λ=

7±3 5

2

．

點評：熟練掌握線面平行的判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理、面面平行的判定與性質(zhì)定理、線面平行、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角的方法等是解題的關(guān)鍵．