Question

已知橢圓4x²+3y²=3，拋物線的開口向上，且其頂點在橢圓C的中心，焦點為橢圓的一個焦點F．點P為拋物線上的一點，PC垂直于直線，垂足為C，已知直線AB垂直PF分別交x、y軸于A、B．
（Ⅰ）求使△PCF為等邊三角形的點P坐標．
（Ⅱ）是否存在點P，使P平分線段AB，若存在求出點P，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：由題意知，．拋物線方程為x²=2y，設．
（Ⅰ）由題設知|PF|=|PC|，∠CFO=∠PFC=60°．故，所以或．
（Ⅱ），由PF⊥AB知，，則．由此可知存在點P，使P平分線段AB．
解答：解：由4x²+3y²=3得，，
所以，即．
則，即p=1，故拋物線方程為x²=2y，即．可設．（3分）
（Ⅰ）由知，是拋物線x²=2y的準線，故|PF|=|PC|，由△PCF為等邊三角形知，∠CFO=∠PFC=60°．
故，即，即，解得或．即或．
故或．（6分）
（Ⅱ），由PF⊥AB知，，則．
令y=0得，，即，，
令x=0得，，即，．（10分）
若P平分線段AB，則有且，
解得x²=5，即．
故存在點，使P平分線段AB．（13分）
點評：圓錐曲線的綜合大題，主要考查解析幾何的有關知識，以及分析問題與解決問題的能力．除了2004年出現了兩道大題（其中有一題以圓錐曲線的應用題形式出現）外，基本上是每年一道大題．除了2006年以函數的面貌，基本上還是以常態的形式出現，即以直線與圓錐曲線的位置關系的形式出現．值得引起重視的一個現象是，經常出現一條或幾條直線與兩種圓錐曲線（包括圓）的位置關系問題，同時要注意其與平面向量以及導數的知識的綜合命題．