Question

【題目】設(shè)數(shù)列滿足： ．

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，可得a1+2a2+3a3++（n﹣1）an﹣1=2n﹣1，兩者相減，可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)題意，求出bn的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

（1）∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n①，

∴n≥2時(shí)，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=2n﹣1②

①﹣②得nan=2n﹣1，an=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，

∴an=

（2）∵bn=．

則當(dāng)n=1時(shí)，S1=2

∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1

則2Sn=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n

相減得Sn=n2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）

又S1=2，符合Sn的形式，

∴Sn=（n﹣1）2n+2（n∈N*）