Question

設S_n為數列{a_n}的前n項和，對任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m為常數，且m＞0）．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）設數列{a_n}的公比q=f（m），數列{b_n}滿足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*），求數列{b_n}的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求證：數列{b_n²}的前n項和Tn＜

89

18

．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時根據a_n=S_n-S_n-1化簡整理得

an

an-1

=

m

1+m

，根據等比數列的定義即可判斷數列{a_n}為等比數列．
（2）由（1）可求得q和a₁，進而求得b₁，根據b_n=f（b_n-1）整理得即

1

bn

-

1

bn-1

=1進而判斷數列為等差數列，根據首項和公差，進而可得數列的通項公式．
（3）根據（2）先可得出數列{b_n²}的通項公式bn2=

4

(2n-1)2

再根據

4

(2n-1)2

＜

4

2n(2n-2)

=

1

n-1

-

1

n

，通過裂項法求和即可證明原式．

解答：（1）證明：當n=1時，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n．
即（1+m）a_n=ma_n-1．
∵m為常數，且m＞0，∴

an

an-1

=

m

1+m

（n≥2）
∴數列{a_n}是首項為1，公比為

m

1+m

的等比數列．
（2）解：由（1）得，q=f（m）=

m

1+m

，b₁=2a₁=2．
∵bn=f(bn-1)=

bn-1

1+bn-1

，
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1（n≥2）．
∴{

1

bn

}是首項為

1

2

，公差為1的等差數列．
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-1

2

，即bn=

2

2n-1

（n∈N^*）．
（3）證明：由（2）知bn=

2

2n-1

，則bn2=

4

(2n-1)2

．
所以T_n=b₁²+b₂²+b₃²++b_n²=4+

4

9

+

4

25

++

4

(2n-1)2

，
當n≥2時，

4

(2n-1)2

＜

4

2n(2n-2)

=

1

n-1

-

1

n

，
所以Tn=4+

4

9

+

4

25

++

4

(2n-1)2

＜4+

4

9

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n-1

-

1

n

)=

40

9

+

1

2

-

1

n

＜

89

18

．

點評：本題主要考查了等比關系和等差關系的確定，及數列求和問題．裂項法是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的．