Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A、B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設O為坐標原點，若

OP

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），λμ=

3

16

，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  3 2

  2

• B．

  3 5

  5

• C．

  2 3

  3

• D．

  9

  8

Answer 1

分析：由方程可得漸近線，可得ABP的坐標，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=

b

c

，解之可得λμ的值，由λμ=

3

16

可得ac的關系，由離心率的定義可得．

解答：解：雙曲線的漸近線為：y=±

b

a

x，設焦點F（c，0）則A（c，

bc

a

），B（c，-

bc

a

），P（c，

b2

a

），
∵

OP

=λ

OA

+μ

OB

，∴（c，

b2

a

）=（（λ+μ）c，（λ-μ）

bc

a

），
∴λ+μ=1，λ-μ=

b

c

，解得λ=

c+b

2c

，μ=

c-b

2c

，
又由λμ=

3

16

得

c+b

2c

×

c-b

2c

=

3

16

，解得

a2

c2

=

3

4

，
∴e=

c

a

=

2 3

3

故選C

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，涉及雙曲線的離心率的求解，屬中檔題．