Question

P是橢圓+=1（a＞b＞0）上任意一點，P與兩焦點連線互相垂直，且P到兩準線距離分別為6、12，則橢圓方程為     ．

Answer 1

【答案】分析：先根據P到兩準線的距離求得=9，進而根據橢圓的第二定義可知|PF₁|=6e，|PF₂|=12e，根據P與兩焦點連線互相垂直利用勾股定理建立等式求得a，進而求得c，最后根據a，b和c的關系求得b，則橢圓方程可得．
解答：解：因為P到兩準線距離分別為6、12，不妨設P到左準線距離為6，那么12+6=2，即=9
因為橢圓上的點到焦點的距離與到準線的距離之比為離心率e，
所以|PF₁|=6e，|PF₂|=12e
又因為PF₁垂直于PF₂，
所以|F₁F₂|²=（6e）²+（12e）²=180e²=4c²，
所以a²=45
由=9得c=5，
∴b²=a²-c²=20
因此，橢圓方程為+=1
故答案為+=1
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，橢圓的定義；解題的關鍵是利用了橢圓的第二定義．