Question

（2012•臺州一模）已知數列{a_n}，{b_n}滿足：a1=

9

2

，2an+1-an=6•2n，bn=an-2n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數列{b_n}為等比數列．并求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，若對任意的n∈N*都有

Sn

Tn

≤

m

bn

，求實數m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數列遞推式整理變形，利用等比數列的定義，可得數列{b_n}為等比數列，從而可求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）對任意的n∈N^*都有

Sn

Tn

≤

m

bn

，等價于m≥(4•2n+1)

1

2n

=4+

1

2n

對任意的n∈N^*成立，由此可求實數m的最小值．

解答：（Ⅰ）證明：由已知得2(an+1-2n+2)=an-2n+1，…（2分）
∵bn=an-2n+1，∴2b_n+1=b_n
∵a1=

9

2

，∴b1=

1

2

，
∴{b_n}為等比數列．…（4分）
所以bn=(

1

2

)n，…（6分）
進而an=2n+1+(

1

2

)n．…（7分）
（Ⅱ）解：

Sn

Tn

=

(22+23+…+2n+1)+( 1 2 +…+ 1 2n )

1 2 +…+ 1 2n

=

2n+2-4

1- 1 2n

+1=4•2ⁿ+1…（10分）
則m≥(4•2n+1)

1

2n

=4+

1

2n

對任意的n∈N^*成立． …（12分）
∵數列{4+

1

2n

}是遞減數列，∴(4+

1

2n

)max=

9

2

∴m的最小值為

9

2

． …（14分）

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查數列的通項，考查恒成立問題，正確求通項是關鍵．