Question

.已知定義在R上的函數f（x）=( a , b , c , d ∈R )的圖象關于原點對稱，且x = 1時，f（x）取極小值。

    （Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）當x∈[-1，1]時，圖象舊否存在兩點，使得此兩面三刀點處的切線互相垂直？試證明你的結論；

（Ⅲ）若∈[-1，1]時，求證：| f ()-f （）|≤。

Answer 1

（1）f(x)= 

（2） 當x∈[-1，1]時，圖象上不存在這樣的兩點使得結論成立

（3）同解析

解析:

Ⅰ）∵函數f（x）的圖象關于原點對稱，

∴f（0）= 0，即4d = 0,∴d = 0

又f（-1）= - f（1），

即-a - 2b - c = -a + 2b – c ，∴b = 0

∴f（x）=+cx ,f ′（x）= 3a+c .

∵x = 1時，f(x)取極小值，

∴ 3a + c = 0且 a + c = .

解得a =  ,c = .  

∴f(x)=

（Ⅱ）當x∈[-1，1]時，圖象上不存在這樣的兩點使得結論成立。

假設圖象上存在兩點A（，），B（，），使得過此兩點處的切線互相垂直，則由f ′（x）=(-1)知兩點處的切線斜率分別為=，

=，且 = 1             （*）

∵，∈[-1，1]，

∴-1≤0，-1≤0

∴（-1）（-1）≥0 此與（*）矛盾，故假設不成立

（Ⅲ）（理科）證明：f ′（x）=（-1），令f ′（x）= 0，得x = ±1

∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）時，f ′（x）＞0，x∈（-1，1）時，f ′（x）＜0

∴f（x）在[-1，1]上是減函數，且（x）=f(-1)=,(x)=f(1)=.

∴在[-1，1]上| f（x）|≤，于是，∈[-1，1]時，

|f()-f()|≤|f()|+|f()|≤