Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)的和S_n=

(an+1)2

4

（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b，公比為2，前n項(xiàng)的和為T_n．若對(duì)任意n∈N^*，S_n≤T_n均成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出a₁，當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1可得a_n，a_n-1間的遞推式，由此可判斷{a_n}為等差數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出S_n，T_n，則S_n≤T_n對(duì)任意n∈N^*恒成立即

1

b

≤

2n-1

n2

對(duì)任意∈N^*均成立，令C_n=

2n-1

n2

，則問題等價(jià)于

1

b

小于等于C_n的最小值，通過作差C_n+1-C_n可判斷{C_n}的單調(diào)性，由此即可求得其最小值；

解答：解：（1）a1=

(a1+1)2

4

，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1=

(an+1)2-(an-1+1)2

4

，
得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，
又a_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，
故{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以a_n=2n-1．（n∈N^*）．
（2）由（1）知，Sn=n2，T_n=b（2ⁿ-1），
所以S_n≤T_n對(duì)任意n∈N^*恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

1

b

≤

2n-1

n2

對(duì)任意∈N^*均成立，
令C_n=

2n-1

n2

，因?yàn)镃_n+1-C_n=

2n+1-1

(n+1)2

-

2n-1

n2

=

(n2-2n-1)•2n+(2n+1)

n2(n+1)2

，
所以C₁＞C₂，且當(dāng)n≥2時(shí)，C_n＜C_n+1，
因此

1

b

≤C2=

3

4

，即b≥

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式、等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，考查恒成立問題，恒成立問題的常用解決方法是轉(zhuǎn)化為求最值．