Question

已知：如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足.

(1)求證：PA⊥平面ABC；

(2)當E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.

Answer 1

解析：(1)在平面ABC內取一點D，作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，

∴DF⊥平面PAC.PA平面PAC.

∴DF⊥AP.

作DG⊥AB于G.同理可證DG⊥AP.

DG、DF都在平面ABC內，

∴PA⊥平面ABC.

(2)連結BE并延長交PC于H.

∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.

又已知AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥BH.

∴PC⊥面ABE.

∴PC⊥AB.

又∵PA⊥平面ABC.∴PA⊥AB.

∴AB⊥平面PAC.

∴AB⊥AC.即△ABC是直角三角形.