Question

已知定義在R上的函數f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期為π，且對一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

12

)=4；
（1）求函數f（x）的表達式；  
（2）若g（x）=f（

π

6

-x），求函數g（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）利用輔助角公式化簡，通過周期求出ω，通過函數的最值，列出方程，求出函數的解析式即可．
（2）利用g（x）=f（

π

6

-x）求出函數的解析式，利用正弦函數的單調性，求出函數的單調區間即可．

解答：解：（1）∵f(x)=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin(ωx+φ)，又周期T=

2π

ω

=π
∴ω=2
∵對一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

12

)=4
∴

a2+b2 =4 asin π 6 +bcos π 6 =4

得：

a=2 b=2 3

∴f（x）的解析式為f(x)=2sin2x+2

3

cos2x
（2）∵g(x)=f(

π

6

-x)=4sin[2(

π

6

-x)+

π

3

]=4sin(-2x+

2π

3

)=-4sin(2x-

2π

3

)，
∴g（x）的增區間是函數y=sin(2x-

2π

3

)的減區間
∴由2kπ+

π

2

≤2x-

2π

3

≤2kπ+

3π

2

得g（x）的增區間為[kπ+

7π

12

，kπ+

13π

12

]（k∈Z）
（等價于[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]）．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，兩角和與差的正弦函數，二倍角的正弦，考查計算能力．