Question

已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足條件|PM|-|PN|=2

2

．記動點P的軌跡為W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求

OA

•

OB

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，由此能求出其方程．
（Ⅱ）當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為x=x₀，此時A（x₀，

x 2 0 -2

（2）），B（x₀，-

x 2 0 -2

），

OA

•

OB

=2，當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+b，代入雙曲線方程

x2

2

-

y2

2

=1中，得（1-k²）x²-2kbx-b²-2=0．依題意可知方程有兩個不相等的正數根，由此入手能求出

OA

•

OB

的最小值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，
所求方程為：

x2

2

-

y2

2

=1（x＞0）
（Ⅱ）當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為x=x₀，
此時A（x₀，

x 2 0 -2

），
B（x₀，-

x 2 0 -2

），

OA

•

OB

=2
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+b，
代入雙曲線方程

x2

2

-

y2

2

=1中，得：
（1-k²）x²-2kbx-b²-2=01°
依題意可知方程1°有兩個不相等的正數根，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

△=4k2b2-4(1-k2)•(-b2-2)＞0 x1+x2= 2kb 1-k2 ＞0 x1x2= b2+2 k2-1 ＞0

，
解得|k|＞1又

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=

2k2+2

k2-1

=2+

4

k2-1

＞2
綜上可知

OA

•

OB

的最小值為2．

點評：本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．