Question

已知函數(shù)f（x）=2x-sinx，若對(duì)任意的t∈[-3，1]，f（tx-3）+f（2x）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

（-3，1）

．

Answer 1

分析：由題意可知f（x）=2x-sinx為奇函數(shù)，由f′（x）=2-cosx＞0可判斷其單調(diào)性，從而可求對(duì)任意的t∈[-3，1]，f（tx-3）+f（2x）＜0恒成立時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答：解；∵f（-x）=-2x-sin（-x）=-（2x-sinx）=-f（x），
∴f（x）=2x-sinx為奇函數(shù)；
又f′（x）=2-cosx＞0，
∴f（x）=2x-sinx為R上的增函數(shù)．
∴對(duì)任意的t∈[-3，1]，f（tx-3）+f（2x）＜0恒成立
?對(duì)任意的t∈[-3，1]，f（tx-3）＜f（-2x）恒成立
?tx-3＜-2x恒成立，t∈[-3，1]
?tx+2x-3＜0恒成立，t∈[-3，1]．
令g（t）=tx+2x-3，則

g(-3)＜0 g(1)＜0

，即

-3x+2x-3＜0 x+2x-3＜0

，
解得：-3＜x＜1．
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-3，1）．
故答案為：（-3，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，突出轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．