Question

若A、B是拋物線y²＝4x上的不同兩點，弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關弦”．已知當x＞2時，點P(x，0)存在無窮多條“相關弦”．給定x₀＞2．

(Ⅰ)證明：點P(x₀，0)的所有“相關弦”的中點的橫坐標相同；

(Ⅱ)試問：點P(x0，0)的“相關弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用x₀表示)：若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設AB為點P(x0，0)的任意一條“相關弦”，且點A、B的坐標分別是 　　(x1，y1)、(x2，y2)(x1x2)，則y21＝4x1，y22＝4x2， 　　兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．因為x1x2，所以y1＋y20． 　　設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M(xm，ym)，則 　　k＝． 　　從而AB的垂直平分線l的方程為 　　又點P(x0，0)在直線l上，所以－ym 　　而于是 　　故點P(x0，0)的所有“相關弦”的中點的橫坐標都是x0－2． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線的方程是，代入中， 整理得(·) 　　則是方程(·)的兩個實根，且 　　設點P的“相關弦”AB的弦長為l，則 　　 　　 　　因為0＜＜4xm＝4(xm－2)＝4x0－8，于是設t＝，則t(0，4x0－8)． 　　記l2＝g(t)＝－[t－2(x0－3)]2＋4(x0－1)2． 　　若x0＞3，則2(x0－3)∈(0，4x0－8)，所以當t＝2(x0－3)，即＝2(x0－3)時， 　　l有最大值2(x0－1)． 　　若2＜x0＜3，則2(x0－1)≤0，g(t)在區間（0，4x0－8）上是減函數，所以 　　0＜l2＜16(x0－2)，l不存在最大值． 　　綜上所述，當x0＞3時，點P（x0，0）的“相關弦”的弦長中存在最大值，且最大值為2（x0－1）；當2＜x0≤3時，點P（x0，0）的“相關弦”的弦長中不存在最大值．