Question

若A、B是拋物線y²=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關弦”．已知當x>2時，點P（x,0）存在無窮多條“相關弦”．給定x₀>2．

（I）證明：點P（x₀,0）的所有“相關弦”的中點的橫坐標相同；

（II）試問：點P（x₀,0）的“相關弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，請說明理由．

Answer 1

解:（I）設AB為點P（x₀,0）的任意一條“相關弦”，且點A、B的坐標分別是

（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁x₂）,則y²₁=4x_1, y²₂=4x₂,

兩式相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）．因為x₁x₂,所以y₁+y₂0．

設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（x_m, y_m）,則

k=．

從而AB的垂直平分線l的方程為

又點P（x₀,0）在直線l上，所以

而于是

故點P（x₀,0）的所有“相關弦”的中點的橫坐標都是x₀-2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直線的方程是，代入中，

整理得     (1)

則是方程（1）的兩個實根，且

設點P的“相關弦”AB的弦長為l，則

 

因為0<<4x_m=4（x₀-2） =4x₀-8,于是設t=,則t（0,4x₀-8）．

記l²=g（t）=-[t-2（x₀-3）]²+4（x₀-1）²

若x₀>3,則2（x₀-3）（0, 4x₀-8）,所以當t=2（x₀-3）,即=2（x₀-3）時,

l有最大值2（x₀-1）．

若2<x₀≤3,則2（x₀-1）0,   g（t）在區間（0，4 x₀-8）上是減函數，所以

0<l²<16（x₀-2）,l不存在最大值．

綜上所述，當x₀>3時，點P（x₀,0）的“相關弦”的弦長中存在最大值，且最大值為

2（x₀-1）；當2< x₀3時，點P（x₀,0）的“相關弦”的弦長中不存在最大值．