Question

如下圖，過曲線：上一點作曲線的切線交軸于點，又過作 軸的垂線交曲線于點，然后再過作曲線的切線交軸于點，又過作軸的垂線交曲線于點，，以此類推，過點的切線 與軸相交于點，再過點作軸的垂線交曲線于點（N）．

(1) 求、及數列的通項公式；(2) 設曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表達式； (3) 在滿足(2)的條件下, 若數列的前項和為，求證：N.

 

 

Answer 1

【答案】

(1) ，，；(2) ；(3)見解析.

【解析】

試題分析：(1)利用導數求直線切線和切線的方程，從而易得的值，再得直線的方程，知點在直線上，所以，既得通項公式；(2)觀察圖形利用定積分求表達式；(3)分別求得及表達式，再用數學歸納法、二項式定理及導數的方法證明即可.

試題解析：(1) 由，設直線的斜率為，則.

∴直線的方程為.令，得，                       1分

∴， ∴.  ∴.

∴直線的方程為.令，得.               2分

一般地，直線的方程為，

由于點在直線上，∴.                        3分

∴數列是首項為，公差為的等差數列.∴.               4分

（2）

.                                                 6分

（3）證明： ,  8分

 ∴，.

 要證明，只要證明，即只要證明.       9分

證法1：（數學歸納法）

①當時，顯然成立；

②假設時，成立，則當時，，

而，

，，

時，也成立，由①②知不等式對一切都成立.          14分

證法2：

.

所以不等式對一切都成立.                14分

證法3:令,則,

當時, ,

∴函數在上單調遞增.  ∴當時, .

∵N,  ∴,    即.∴.

∴不等式對一切N都成立.                       14分

考點：1、利用導數求切線方程；2、數列的運算；3、定積分計算圖形面積.