Question

設a，b，c（a≠0）為實數，且方程組

ax2+bx+c=y ay2+by+c=x

恰有唯一一組實數解，用反證法證明：（b-1）²=4ac．

Answer 1

分析：利用反證法的證明方法，通過假設（b-1）²＞4ac，說明方程有實數解，不是一組，推出矛盾；（b-1）²＜4ac時，方程組無實數解，得到矛盾，說明原等式成立．

解答：證明：若（b-1）²＞4ac，則方程at²+（b-1）t+c=0有兩個不同實數根，
設為α，β．則（x，y）=（α，α）與（x，y）=（β，β）都為原方程的實數解．
與恰有唯一一組實數解矛盾．若（b-1）²＜4ac，此時只需證明原方程組無實數解，
不妨設a＞0，故對于任意實數x，y都有ax²+bx+c＞x，ay²+by+c＞y，從而ax²+bx+c+ay²+by+c＞x+y，
故不存在實數對（x，y）使原方程組成立．
綜上，（b-1）²=4ac．

點評：本題考查反證法證明等式的證明方法，考查分析問題解決問題的能力．