Question

（2012•莆田模擬）如圖，AB⊥BC，BC⊥CD，AB=BC=CD=1，AD=

3

，E、F分別是線段AC、AD的中點，連接BE、EF、FB、BD．
（1）請觀察圖形直接寫出兩對不同的線面垂直關系，并任選其中一對加以證明；
（2）試求直線BD與平面BEF所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）由圖形可得CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD．證明AC⊥CD，根據BC⊥CD，AC∩BC=C，可得CD⊥平面ABC，從而可得CD⊥AB，根據AB⊥BC，BC∩CD=C，可得AB⊥平面BCD；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面BEF的法向量

n

=（1，0，1），利用向量的夾角公式，即可求直線BD與平面BEF所成的角的大小．

解答：解：（1）由圖形可得CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD．下面證明AB⊥平面BCD：
在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=1，∴AC=

2

在△ACD中，CD=1，AC=

2

，AD=

3

，∴AD²=AC²+DC²，∴AC⊥CD
∵BC⊥CD，AC∩BC=C
∴CD⊥平面ABC
∵AB?平面ABC
∴CD⊥AB
∵AB⊥BC，BC∩CD=C
∴AB⊥平面BCD；
（2）以C為原點，BC所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

則A（1，0，1），B（1，0，0），C（0，0，0），D（0，1，0），E（

1

2

，0，

1

2

），F（

1

2

，

1

2

，

1

2

）
設平面BEF的法向量為

n

=（x，y，z），直線BD與平面BEF所成的角為θ
∵

BE

=（

1

2

，0，

1

2

），

BF

=（

1

2

，

1

2

，

1

2

）
∴

- 1 2 x+ 1 2 z=0 - 1 2 x+ 1 2 y+ 1 2 z=0

，∴可取

n

=（1，0，1）
∵

BD

=（-1，0，1）
∴sinθ=

| BD • n |

| BD || n |

=

1

2 × 2

=

1

2

．
∵θ∈[0，

π

2

]
∴θ=

π

6

點評：本題考查線面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定，正確運用空間向量解決線面角問題，屬于中檔題．