Question

已知橢圓：（）的右焦點為，且橢圓過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設斜率為的直線與橢圓交于不同兩點、，以線段為底邊作等腰三角形，其中頂點的坐標為，求△的面積．

Answer 1

（1） ；（2）．

試題分析：(1)要確定橢圓方程，要確定兩個參數的值，因此需要兩個條件，題中有焦點為，
即，又橢圓過點，代入方程又得到一個關于的等式，聯立可解得；(2) 直線和圓錐曲線相交問題，一般都是設出直線方程，本題直線的方程可設為，代入橢圓方程得到關于的一元二次方程，再設交點為，則可得，，而條件等腰三角形的應用方法是底邊邊上的中線就是此邊上的高，即取中點為，則．由此可求得從而得到坐標，最終求得的面積．
試題解析：（1）由已知得，因為橢圓過點，所以   （2分）
解得                                （5分）
所以，橢圓的方程為．            （6分）
（2）設直線的方程為，              （1分）
由得 ① （2分）
因為直線與橢圓交于不同兩點、，所以△，
所以．            （3分）
設，，則，是方程①的兩根，所以，
設的中點為，則，， （4分）
因為是等腰三角形的底邊，所以，向量是直線的一個法向量，
所以∥向量，即∥向量，
所以，解得．    （5分）
此時方程①變為，解得，，所以．
又到直線：的距離， （7分）
所以△的面積．   （8分）