Question

定義在（-1，1）的函數(shù)f（x）滿足：①對任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f(

x+y

1+xy

)；②當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＞0．回答下列問題．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并說明理由；
（3）若f(

1

7

)=

1

3

，試求f(

2

3

)-f(

1

9

)-2f(

1

17

)的值．

Answer 1

分析：（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性：①判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱，②判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系．
（2）證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用定義，分五步①設(shè)元，②作差，③變形，④判號，⑤下結(jié)論．
（3）利用題中所給的等式，把要求的已知的相結(jié)合，逐步求出要求的值．

解答：解：（1）函數(shù)定義域為（-1，1）．令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，則有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是奇函數(shù)．（3分）
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(

x2-x1

1-x1x2

)
而x₂-x₁＞0，|x₁||x₂|＜1
∴1-x₁x₂＞0
∴

x2-x1

1-x1x2

＞0，
又因為1-x₂＞0，1+x₁＞0
∴（1-x₂）（1+x₁）=1-x₁x₂-x₂+x₁＞0，即1-x1x2＞x2-x1∴

x2-x1

1-x1x2

＜1
∴0＜

x2-x1

1-x1x2

＜1，
所以f(

x2-x1

1-x1x2

)＞0．即當(dāng)x₁＜x₂時，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)．（8分）
（3）由于f(

2

3

)-f(

1

7

)=f(

11

19

)即f(

2

3

)=f(

1

7

)+f(

11

19

)
∵f(

1

9

)+f(

1

7

)=f(

1

4

)即-f(

1

9

)=f(

1

7

)-f(

1

4

)
∵f(

1

17

)+f(

1

7

)=f(

1

5

)即-2f(

1

17

)=2f(

1

7

)-2f(

1

5

)
又∵f(

1

4

)+f(

1

5

)+f(

1

5

)=f(

3

7

)+f(

1

5

)=f(

11

19

)
∴f(

2

3

)-f(

1

9

)-2f(

1

17

)=f(

1

7

)+f(

1

19

)+f(

1

7

)-f(

1

4

)+2f(

1

7

)-2f(

1

5

)
∴f(

2

3

)-f(

1

9

)-2f(

1

17

)=4f(

1

7

)=

4

3

（14分）

點評：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，與具體函數(shù)的證明方法相同，做題一定要抓牢定義，特別是證明題，一切方法源根本．