Question

【題目】已知三棱錐滿足底面，是邊長為的等邊三角形，是線段上一點，且.球為三棱錐的外接球，過點作球的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為，則球的表面為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

將三棱錐P—ABC補成正三棱柱，且三棱錐和該正三棱柱的外接球都是球O，記三角形ABC的中心為，設球的半徑為R，PA=2x，則球心O到平面ABC的距離為x，即O=x，連接C，則C=4，，在三角形ABC中，取AB的中點為E，連接D，

E，則 在直角三角形OD中，由題意得到當截面與直線OD垂直時，截面面積最小，設此時截面圓的半徑為r,則最小截面圓的面積為，當截面過球心時，截面面積最大為，，如圖三， 球的表面積為

故答案為：100 .

睛：本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準關系，得到結果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應確定球心的位置，借助于外接球的性質，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線（這兩個多邊形需有公共點），這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑，例：三條側棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球.