Question

（本小題滿分16分）已知函數（a＞0，且a≠1），其中為常數．如果 是增函數，且存在零點（為的導函數）．

（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函數y＝g（x）的圖象上兩點，（ 為的導函數），證明：．

Answer 1

(Ⅰ) a＝e   (Ⅱ)  見解析

解析:

（Ⅰ）因為，所以．3分

因為h（x）在區間上是增函數，所以在區間上恒成立．

若0<a<1，則lna<0，于是恒成立．又存在正零點，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1與lna<0矛盾．所以a>1．由恒成立，又存在正零點，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，所以lna＝1，即a＝e．………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………9分

以下證明． （※）（※）等價于． 11分

令r（x）＝xlnx₂－xlnx－x₂＋x，……………………………13分

r ′（x）＝lnx₂－lnx，在（0，x₂］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x₂］上為增函數．

當x₁<x₂時，r（x₁）< r（x₂）＝0，即從而得到證明．…15分

對于同理可證所以．…16分