Question

已知奇函數f(x)=loga

bx+1

x-1

，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）對于x∈[2，4]f(x)＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）當n≥4，且n∈N^*時，試比較a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}與2ⁿ-2的大小．

Answer 1

分析：（I）根據奇函數的定義g（x）=-g（-x）列出關于b的等式，由函數的奇偶性定義求出b的值；
（II）分當a＞1和當0＜a＜1兩種情況討論，利用分離參數法，結合導數在最大值、最小值問題中的應用來解m的取值范圍．
（Ⅲ）先得出：af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

，再分情況討論：當n=2時，

n(n+1)

2

=3，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2；當n=3時，

n(n+1)

2

=6，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2；當n≥4時，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2進行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=loga

bx+1

x-1

，f(-x)=loga

-bx+1

-x-1

=loga

bx-1

x+1

f(x)+f(-x)=loga

bx+1

x-1

+loga

bx-1

x+1

=loga

b2x2-1

x2-1

=0
∴

b2x2-1

x2-1

=1恒成立，b²=1，b=±1經檢驗b=1
（Ⅱ）由x∈[2，4]時，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
①當a＞1時
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

＞0對x∈[2，4]恒成立
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
設g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
則g（x）=-x³+7x²+x-7g′(x)=-3x2+14x+1=-3(x-

7

3

)2+

52

3

∴當x∈[2，4]時，g'（x）＞0
∴y=g（x）在區間[2，4]上是增函數，g（x）_min=g（2）=15
∴0＜m＜15
②當0＜a＜1時
由x∈[2，4]時，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
∴

x+1

x-1

＜

m

(x-1)2(7-x)

對x∈[2，4]恒成立
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
設g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
由①可知y=g（x）在區間[2，4]上是增函數，g（x）_max=g（4）=45
∴m＞45
綜上，當a＞1時，0＜m＜15；
當0＜a＜1時，m＞45
（Ⅲ）∵f(2)+f(3)++f(n)=loga3+loga

4

2

+loga

5

3

++loga

n

n-2

+loga

n+1

n-1

=loga(3×

4

2

×

5

3

××

n

n-2

×

n+1

n-1

)=loga

n(n+1)

2

∴af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

當n=2時，

n(n+1)

2

=3，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2
當n=3時，

n(n+1)

2

=6，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2
當n≥4時，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
下面證明：當n≥4時，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
當n≥4時，2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²++C_n^n-1＞n+

n(n-1)

2

+n=

n2+3n

2

＞

n(n+1)

2

∴當n≥4時，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
h(4)=

4×5

2

-24+2=-4＜0n≥4時，

n(n+1)

2

-2n+2＜0，即

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
∴當n≥4時，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2．

點評：本題是函數性質的綜合題，本小題主要考查函數奇偶性的性質、函數奇偶性的應用、不等式的解法、導數在最大值、最小值問題中的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．