Question

已知函數f(x)=sin(

3π

4

-x)-

3

cos(x+

π

4

)，x∈R，則f（x）是（　　）

• A、周期為π，且圖象關于點(

  π

  12

  ，0)對稱
• B、最大值為2，且圖象關于點(

  π

  12

  ，0)對稱
• C、周期為2π，且圖象關于點(-

  π

  12

  ，0)對稱
• D、最大值為2，且圖象關于x=

  5π

  12

  對稱

Answer 1

分析：把f（x）解析式中的被減數中的角度

3π

4

-x變形為π-（x+

π

4

）后，利用誘導公式變形，提取2后，再利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域即可求出f（x）的最大值；找出ω的值，利用周期公式即可求出f（x）的周期，令k=0即可求出函數圖象的一個對稱點(

π

12

，0)，即可得到正確的選項．

解答：解：f(x)=sin(

3π

4

-x)-

3

cos(x+

π

4

)
=sin[π-（x+

π

4

）]-

3

cos（x+

π

4

）
=sin（x+

π

4

）-

3

cos（x+

π

4

）
=2[

1

2

sin（x+

π

4

）-

3

2

cos（x+

π

4

）]
=2sin[（x+

π

4

）-

π

3

]
=2sin（x-

π

12

），
∵x∈R，∴x-

π

12

∈R，
∴-1≤sin（x-

π

12

）≤1，
則f（x）的最大值為2；
∵ω=1，∴周期T=

2π

1

=2π；
當x-

π

12

=kπ（k∈Z）時，f（x）圖象關于某一點對稱，
∴當k=0，求出x=

π

12

，即f（x）圖象關于x=

π

12

對稱，
故選B

點評：此題考查了三角函數的恒等變形，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的對稱性以及三角函數的最值，靈活運用三角函數的恒等變形把f（x）化為一個角的正弦函數是本題的突破點．