Question

已知α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），且sin（α+β）=

3

5

，cosβ=-

5

13

，求tanα的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的求值

分析：由α，β的范圍求得α+β的范圍，由已知求出cos（α+β），sinβ的值，把α化為（α+β）-β后求其正弦，進一步求得其余弦，則正切可求．

解答： 解：∵α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），
∴α+β∈（

π

2

，

3π

2

），
又sin（α+β）=

3

5

，∴α+β∈（

π

2

，π），
則cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

1-( 3 5 )2

=-

4

5

．
由cosβ=-

5

13

，得sinβ=

1-cos2β

=

1-(- 5 13 )2

=

12

13

．
∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=

3

5

×(-

5

13

)-(-

4

5

)×

12

13

=

33

65

．
cosα=

1-sin2α

=

1-( 33 65 )2

=

14 6

65

．
∴tanα=

sinα

cosα

=

11 6

28

．

點評：本題考查了兩角和與差的正弦，拆變角是解答該題的關鍵，是中檔題．