Question

（2006•崇文區二模）已知函數f（x）=

x-1

(x-1)2+1

+

3

2

，x∈R．
（Ⅰ）證明：若x≠2，則有|f（x）-f（2）|＜|x-2|；
（Ⅱ）若數列{a_n}滿足f（a_n）=2a_n+1-a_n，并且a₁=1，證明1≤a_n≤3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用分析法，欲證：|f（x）-f（2）|＜|x-2|，需證明|

x-1

(x-1)2+1

+

3

2

-

1

2

|＜|x-2|，需證…，只需證明0＜（x-1）²+

1

2

|x-1|²+

1

2

，而該式成立，從而使原結論成立；
（Ⅱ）由上式|f（x）-f（2）|＜|x-2|有|2a_n+1-a_n-2|＜|a_n-2|，進一步推出|a_n-2|＜|a_n-1-2|＜…＜|a₁-2|≤1，從而可證1≤a_n≤3．

解答：證明：（Ⅰ）欲證：|f（x）-f（2）|＜|x-2|，
只需證明|

x-1

(x-1)2+1

+

3

2

-

1

2

|＜|x-2|，
只需證明|

(x-2)2

2[(x-1)2+1]

|＜|x-2|，
只需證明|

(x-2)

2[(x-1)2+1]

|＜1，
只需證明|x-2|＜2[（x-1）²+1]，
只需證明|x-2|＜[（x-1）²+1]+[（x-1）²+1]，
只需證明|x-1|+1＜[（x-1）²]+|x-1|+

1

2

|x-1|²+

1

2

，
只需證明0＜（x-1）²+

1

2

|x-1|²+

1

2

，
而0＜（x-1）²+

1

2

|x-1|²+

1

2

是恒成立的，
所以|f（x）-f（2）|＜|x-2|．--------------------------------8
（Ⅱ）由上式|f（x）-f（2）|＜|x-2|有|2a_n+1-a_n-2|＜|a_n-2|，
所以|2a_n+1-4-a_n+2|＜|a_n-2|．
有|2a_n+1-4|-|a_n-2|＜|a_n-2|．
而|a_n+1-2|＜|a_n-2|．
即|a_n-2|＜|a_n-1-2|＜…＜|a₁-2|≤1．
∴1≤a_n≤3．-----------------------------14

點評：本題著重考查分析法與綜合法證明不等式，考查推理與分析、運算能力，屬于難題．