Question

如圖是某直三棱柱被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖和俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示：
（1）求出該幾何體的體積；
（2）求證：EM∥平面ABC．

Answer 1

分析：（1）由側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，得四棱錐的高為2，求出底面梯形的面積，代入體積公式計算；
（2）取BC的中點O，連接OA，OE，證明四邊形AOME為平行四邊形，可得EM∥AO，再由線面平行的判定定理證明EM∥平面ABC．

解答：解：（1）側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，
根據三視圖的數據，四棱錐的高為2，
∴幾何體的體積V=

1

3

×

2+4

2

×2×2=4；
（2）連接EM，取BC的中點O，連接OA，OE，
∵O、M分別是BC，BD的中點，∴OM∥CD，OM=

1

2

CD，
由側視圖知AE=

1

2

CD，AE∥CD，∴OM∥AE，OM=AE，
∴四邊形AOME為平行四邊形，∴EM∥AO，AO?平面ABC，EM?平面ABC，
∴EM∥平面ABC．

點評：本題考查了根據三視圖的數據求幾何體的體積，考查了線面平行的證明，解題的關鍵是判斷三視圖的數據所對應的幾何量．