Question

如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、左視圖、俯視圖，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示，
（1）求該幾何體的表面積及體積；
（2）求異面直線AC，BD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由幾何體的直觀圖與左視圖、俯視圖判斷幾何體各面的形狀，利用左視圖與俯視圖給出的數據求各面的面積，再求和可得幾何體的表面積；判斷四棱錐的高于底面，利用棱錐的體積公式計算可求其體積．
（2）建立空間直角坐標系，給出相關點A、C、B，D的坐標，求出向量

CA

，

BD

的坐標，利用向量坐標運算求向量夾角的余弦值．

解答：解：（1）由左視圖知四棱錐的底面為直角梯形，AE=2，CD=4，BC=2，∴S_ACDE=

4+2

2

×2=6
由俯視圖知△ABC為等腰直角三角形，∴S_△ABC=

1

2

×2×2=2；
側面△BCD為直角三角形，S_△BCD=

1

2

×4×2=4；
側面△ABE為直角三角形，AB=2

2

，∴S_△ABE=

1

2

×2×2

2

=2

2

；
BE=

AB2+AE2

=

4+8

=2

3

，DE=

4+4

=2

2

，BD=2

5

∵BE²+DE²=BD²，△BDE為直角三角形，∴S_△BDE=

1

2

×2

3

×2

2

=2

6

，
∴幾何體的表面積為S=12+2

2

+2

6

；
由幾何體的左視圖與俯視圖知：BC為四棱錐的高，且BC=2，
∴V_B-ACDE=

1

3

×6×2=4．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），

CA

=（2，0，0），

BD

=（0，-2，4），
cos＜

CA

，

BD

＞=

CA • BD

| CA || BD |

=

4

2×2 5

=

5

5

，
∴異面直線AC，BD所成的角的余弦值為

5

5

．

點評：本題考查了由三視圖求幾何體的表面積與體積，考查了用向量坐標運算求異面直線所成角的余弦值，正確運用三視圖的數據是解答本題的關鍵．