Question

在某校運動會中，甲、乙、丙三支足球隊進行單循環賽（即每兩隊比賽一場）共賽三場，每場比賽勝者得3分，負者得0分，沒有平局．在每一場比賽中，甲勝乙的概率為

1

3

，甲勝丙的概率為

1

4

，乙勝丙的概率為

1

3

；
（1）求甲隊獲第一名且丙隊獲第二名的概率；
（2）設在該次比賽中，甲隊得分為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）設甲隊獲第一且丙隊獲第二為事件A，則甲贏兩場，丙勝一場，由乘法公式求解即可；
（2）ξ可能的取值為0，3，6，分別計算出相應的概率，列出分布列，再由公式求出期望值即可；

解答：解：（1）設甲隊獲第一且丙隊獲第二為事件A，則P（A）=

1

3

×

1

4

×(1-

1

3

)=

1

18

（2）ξ可能的取值為0，3，6；則
甲兩場皆輸：P（ξ=0）=（1-

1

3

）（1-

1

4

）=

1

2

甲兩場只勝一場：P（ξ=3）=

1

3

×（1-

1

4

）+

1

4

×（1-

1

3

）=

5

12

甲兩場皆勝：P（ξ=6）=

1

3

×

1

4

=

1

12

∴ξ的分布列為

Eξ=0×

1

2

+3×

5

12

+6×

1

12

=

7

4

點評：本題考查離散型隨機事件的分布列與期望及方差，解題關鍵是正確理解“甲隊獲第一名且丙隊獲第二名”這個事件，且能用概率的乘法公式求出其概率，本題涉及到的公式較多，綜合性較強．